möchte­gern­geek

Soeben habe ich mein Blog von Blogger auf einen kleinen Raspberry Pi 2 in meiner Wohnung verschoben. Als Engine benutze ich Pelican, ein statischer Blog Generator in Python, der mir auf den ersten Blick sehr gefällt.

Nicht nur, dass ich alle Einträge jetzt in Markdown schreiben kann, was es ermöglicht das ganze Blog per git zu verwalten (dementsprechend gibt es den Quellcode auf GitHub), sondern es steht mit Pygments ein sehr hübsches Syntax Highlighting zur Verfügung.

float Q_rsqrt( float number )
{
    long i;
    float x2, y;
    const float threehalfs = 1.5F;

    x2 = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y;                       // evil floating point bit level hacking
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );               // what the fuck?
    y  = * ( float * ) &i;
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 1st iteration
    // y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 2nd iteration, this can be removed

    return y;
}

Außerdem Formeln in \(\LaTeX\) Notation dank MathJax

Ich werde diese Gelegenheit außerdem nutzen die meisten Einträge meines Blogs zu verwerfen und nur einige ausgewählte zu überarbeiten und hier zu veröffentlichen.

Nachdem ich so vielen Differenzialgleichungssystemen [1, 2, 3, 4] begegnet bin, die sich nicht analytisch lösen lassen, habe ich mir ein Programm zur numerischen Lösung und Visualisierung derselben geschrieben.

Die grundlegende Idee zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen ist es, die Zeit in diskreten Schritten \(\tau\) vergehen zu lassen. Nach jedem Schritt wird der Zustand so geändert, als ob sich während des Zeitschrittes nichts geändert hätte und die „Kräfte“ werden entsprechend der Bewegungsgleichungen neu berechnet. Für infinitesimal kleine \(\tau \to \mathrm{d}t\) ist diese Methode schließlich exakt.

Im einfachsten Fall, dem Euler Verfahren, sähe das für ein einfaches Fadenpendel nach \(k\) Zeitschritten so aus

Unglücklicherweise hat dieses Verfahren ernsthafte Probleme mit der Energieerhaltung und braucht sehr kleine \(\tau\) für brauchbare Ergebnisse. Es gibt deutlich ausgefeiltere Methoden, wie den klassischen Runge-Kutta Algorithmus. Es gibt Methoden, den Zeitschritt \(\tau\) während der Simulation adaptiv anzupassen, um nur wenig Rechenaufwand in den wenig fehleranfälligen Phasen zu verbringen. Es gibt spezialisierte Methoden, die sehr gut für bestimmte Bewegungsgleichungen funktionieren, wie Velocity-Verlet, der oft für Molekulardynamiksimulationen eingesetzt wird.

Chaotische Systeme haben in der Regel etwas kompliziertere Bewegungsgleichungen. Das oben abgebildete Doppelpendel etwa wird, wie ich in einem anderen Post beschrieben habe durch folgendes Ungetüm beschrieben.

Anfangs empfiehlt es sich also etwas einfacheres und vertrauteres zu lösen, wie den Lorenz-Attraktor

Oder das Dreikörperproblem

Da man das 3-Körperproblem trivial auf ein \(N\)-Körperproblem erweitern kann, habe ich hier ein „Sonnensystem“ bzw. Bohrsches „Atom“-modell simuliert.

Um die obigen (bewegten) Bilder zu erzeugen und um ein bewegtes Doppelpendel für meinen Schreibtisch zu haben, — wennauch nur auf einem Bildschirm — habe ich in C++ einen adaptiven Runge-Kutta-4 Löser geschrieben, der mit den Qt Zeichenprimitiven animiert wird.

Auch wenn der Code nicht sehr aufgeräumt ist und Startwerte im Quellcode angepasst werden müssen, sind die Quellen auf GitHub: github.com/surt91/DGLshow.

Das ist ein Doppelpendel. Ein Doppelpendel ist neben dem Dreikörperproblem und dem Lorenz-Attraktor [1, 2] das Paradebeispiel für analytisch unlösbare Bewegungsgleichungen und chaotisches Verhalten. Aus diesem Grund sollte ein Doppelpendel auf keinem Schreibtisch fehlen und bietet sich als grandiose Geschenkidee für Physiker an.

Dass es analytisch unlösbar ist, lässt sich mit einem nicht rigorosen Argument anschaulich machen: Ein Blick auf die Bewegungsgleichungen:

Das sind die Differentialgleichungen für die beiden Winkel \(\vartheta_1\) und \(\vartheta_2\) des Doppelpendels. \(m_i\) sind die beiden Massen und \(l_i\) die Fadenlängen.

Unser Ziel ist es das obige Video zu erstellen, dazu müssen wir die Bahnkurve, also \(\vartheta_1(t)\) und \(\vartheta_2(t)\) bestimmen. Dazu müssen wir die obigen Gleichungen, die sich relativ simpel, wenn auch mühsam, per Lagrange-Formalismus herleiten lassen, zunächst nach den Winkelbeschleunigungen aufgelösen.

Diese Gleichungen sind durchaus sehr unhandlich und können nicht analytisch, gelöst werden — aber numerisch ist es kein Problem.