Nein, ich habe keine analytische Lösung dafür gefunden. (Soweit ich mich erinnere, hat Poincaré bewiesen, dass es nicht lösbar ist.)
Aber ich habe eine numerische Lösung mit dem vorher vorgestellten Runge-Kutta Löser erstellt. Und ich habe einen hübschen Film daraus gemacht.

Als Standbild ist es nicht ganz so ästhetisch, wie der Lorenz-Attraktor, aber animiert ist es — meiner Meinung nach — wunderbar anzusehen.

Und hier die Startwerte: (bei einer Gravitationskonstanten von 1)
Blau: \(M=5, x_0=0, y_0=0, v_x0=0, v_y0=0\)
Rot : \(M=1, x_0=1, y_0=0, v_x0=0, v_y0=1\)
Grün: \(M=1, x_0=1, y_0=1, v_x0=1, v_y0=0\)