Noch mehr Fraktale

Seit meinem ersten Eintrag über meinen Fraktal-tweetenden Bot @AFractalADay, habe ich selbigen noch um ein paar Fraktale erweitert, die ich hier kurz festhalten möchte. Der ganze Code ist auf Github.

Chaotic Maps

Eine Quadratic Map ist eine Rekursionsgleichung mit einem quadratischen Term, also beispielsweise

$$x_{i+1} = a_0 x^2 + a_1 x + a_2.$$

Das berühmteste Mitglied dieser Familie ist die Logistic-Map mit \(a_0=1, a_1=r, a_2=0\), die chaotisches Verhalten für \(3.56995 < r < 4\) zeigt. Aber leider ist sie nur eindimensional und ihr Attraktor deshalb nicht besonders hübsch.

Um visuell ansprechende Fraktale daraus zu erzeugen, brauchen wir also ein System aus zwei Rekursionsgleichungen, die wir als \(x\)- und \(y\)-Koordinaten betrachten können:

\begin{align*} x_{i+1} &= a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^2 + a_{3} x y + a_{4} y + a_{5} y^2\\ y_{i+1} &= a_{6} + a_{7} x + a_{8} x^2 + a_{9} x y + a_{10} y + a_{11} y^2. \end{align*}

Jetzt haben wir 12 freie Parameter, die einen riesigen Parameterraum aufspannen, in dem etwa 1.6% aller Möglichkeiten chaotisches Verhalten mit einem seltsamen Attraktor zeigen.

Quadratic Map

Chaotische Differentialgleichungssysteme

Ein echter Klassiker ist das Differentialgleichungssystem, das die Chaostheorie begründet hat und nach dem der Schmetterlingseffekt benannt ist [1, 2]. Für bestimmte Paramtersätze verlaufen die Bahnkurven entlang eines seltsamen Attraktors, dessen fraktale Dimension \(\approx 2.06\) ist. Da der vollständige Attraktor somit in einer zweidimensionalen Projektion etwas langweilig aussieht, habe ich hier nur eine Trajektorie über kurze Zeit dargestellt.

Lorenz-Attraktor

Und es gibt eine ganze Menge weitere Differntialgleichungssysteme (und chaotic maps), die chaotische Attraktoren aufweisen. Deshalb zeige ich hier noch einen Rössler-Attraktor, der eine vereinfachte Version des Lorenz-Systems ist:

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &= -(y+z)\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &= x + ay\\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} &= b + xz - cz \end{align*}

Und hier haben wir das Glück, dass auch seine Projektion sehr ansehnlich ist.

Rössler-Attraktor

Ich persönlich frage mich, nun wie der Attraktor für das Doppelpendel aussieht. Es ist anscheinend kein Fraktal, aber es sieht dennoch ganz interessant aus:

Doppelpendel

Ising model

Das Ising Modell für Ferromagnetismus wird auch als Drosophila der statistischen Physik bezeichnet: Es ist ein einfaches Modell, dass einen Phasenübergang aufweist — Eisen verliert seine magnetischen Eigenschaften oberhalb der Curie-Temperatur.

Es besteht aus magnetischen Momenten, Spins, die gerne in die gleiche Richtung zeigen wie ihre Nachbarn, aber durch hohe Temperatur gestört werden. Oder etwas formaler: Die innere Energie \(U\) wird durch den Hamiltonian \(\mathcal{H} = - \sum_{<ij>} s_i s_j\) bestimmt, wobei \(s_i = \pm 1\), je nachdem ob der Spin up oder down ist und die Summe über benachbarte Spins läuft. Das System wird immer einen Zustand anstreben, der die freie Energie \(F=U-TS\) minimiert. Das kann entweder passieren, indem \(U\) möglichst klein ist oder die Entropie \(S\) möglichst hoch. Bei großen Werten der Temperatur \(T\) bekommt der Entropie-Term ein höheres Gewicht, sodass Zustände mit hoher Entropie, also zufälligen Spinausrichtungen, bevorzugt sind, bei niedrigen Temperaturen werden Konfigurationen mit niedriger innerer Energie bevorzugt, also solche in denen alle Spins in die selbe Richtung zeigen. Die Temperatur, bei der sich beide Terme die Waage halten, nennt man kritische Temperatur. Hier bilden sich Regionen von Spins, die in die gleiche Richtung zeigen, auf allen Größenskalen. Die fraktale Dimension dieser Regionen ist 187/96, was solche kritische Konfigurationen interessant anzusehen macht. Ich empfehle auf das folgende Bild zu klicken und etwas hineinzuzoomen.

Kritisches Ising System

Blogumzug

Soeben habe ich mein Blog von Blogger auf einen kleinen Raspberry Pi 2 in meiner Wohnung verschoben. Als Engine benutze ich Pelican, ein statischer Blog Generator in Python, der mir auf den ersten Blick sehr gefällt.

Nicht nur, dass ich alle Einträge jetzt in Markdown schreiben kann, was es ermöglicht das ganze Blog per git zu verwalten (dementsprechend gibt es den Quellcode auf GitHub), sondern es steht mit Pygments ein sehr hübsches Syntax Highlighting zur Verfügung.

float Q_rsqrt( float number )
{
    long i;
    float x2, y;
    const float threehalfs = 1.5F;

    x2 = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y;                       // evil floating point bit level hacking
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );               // what the fuck?
    y  = * ( float * ) &i;
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 1st iteration
    // y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 2nd iteration, this can be removed

    return y;
}

Außerdem Formeln in \(\LaTeX\) Notation dank MathJax

$$\mathcal H = \sum_{\left< i, j \right>} s_i s_j$$

Ich werde diese Gelegenheit außerdem nutzen die meisten Einträge meines Blogs zu verwerfen und nur einige ausgewählte zu überarbeiten und hier zu veröffentlichen.

DGLshow

Nachdem ich so vielen Differenzialgleichungssystemen [1, 2, 3, 4] begegnet bin, die sich nicht analytisch lösen lassen, habe ich mir ein Programm zur numerischen Lösung und Visualisierung derselben geschrieben.

Die grundlegende Idee zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen ist es, die Zeit in diskreten Schritten \(\tau\) vergehen zu lassen. Nach jedem Schritt wird der Zustand so geändert, als ob sich während des Zeitschrittes nichts geändert hätte und die “Kräfte” werden entsprechend der Bewegungsgleichungen neu berechnet. Für infinitesimal kleine \(\tau \to \mathrm{d}t\) ist diese Methode schließlich exakt.

Im einfachsten Fall, dem Euler Verfahren, sähe das für ein einfaches Fadenpendel nach \(k\) Zeitschritten so aus

\begin{align*} \ddot\vartheta_{k+1} &= - mgl \sin(\vartheta_k)\\ \dot\vartheta_{k+1} &= \tau \ddot\vartheta_{k} + \dot\vartheta_{k}\\ \vartheta_{k+1} &= \tau \dot\vartheta_{k} + \vartheta_{k} \end{align*}

Unglücklicherweise hat dieses Verfahren ernsthafte Probleme mit der Energieerhaltung und braucht sehr kleine \(\tau\) für brauchbare Ergebnisse. Es gibt deutlich ausgefeiltere Methoden, wie den klassischen Runge-Kutta Algorithmus. Es gibt Methoden, den Zeitschritt \(\tau\) während der Simulation adaptiv anzupassen, um nur wenig Rechenaufwand in den wenig fehleranfälligen Phasen zu verbringen. Es gibt spezialisierte Methoden, die sehr gut für bestimmte Bewegungsgleichungen funktionieren, wie Velocity-Verlet, der oft für Molekulardynamiksimulationen eingesetzt wird.

Chaotische Systeme haben in der Regel etwas kompliziertere Bewegungsgleichungen. Das oben abgebildete Doppelpendel etwa wird, wie ich in einem anderen Post beschrieben habe durch folgendes Ungetüm beschrieben.

\begin{align*} \ddot\theta_1 &= \frac{m_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) (l_1 \sin(\theta_1 - \theta_2) \dot\theta_1^2 - g \sin(\theta_2)) + m_2 l_2 \sin(\theta_1 - \theta_2) \dot\theta_2^2 + (m_1 + m_2) g \sin(\theta_1)}{m_2 l_1 \cos^2(\theta_1 - \theta_2) - (m_1+m_2) l_1} \\ \ddot\theta_2 &= \frac{m_2 l_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) \sin(\theta_1 - \theta_2) \dot\theta_2^2 + (m_1+m_2) l_1 \sin(\theta_1 - \theta_2) \dot\theta_1^2 + (m_1+m_2) g \cos(\theta_1 - \theta_2) \sin(\theta_1) - (m_1+m_2) g \sin(\theta_2)}{(m_1+m_2) l_2 - m_2 l_2 \cos^2(\theta_1 - \theta_2)} \end{align*}

Anfangs empfiehlt es sich also etwas einfacheres und vertrauteres zu lösen, wie den Lorenz-Attraktor

\begin{align*} \dot{X} &= a(Y - X) \\ \dot{Y} &= X(b - Z) - Y \\ \dot{Z} &= XY - cZ \\ \end{align*}

Oder das Dreikörperproblem

\begin{align*} \ddot{\vec{x}_1} &= -\frac{Gm_2}{\left(x_1 - x_2\right)^3} (\vec{x}_1 - \vec{x}_2) - \frac{Gm_3}{\left(x_1 - x_3\right)^3} (\vec{x}_1 - \vec{x}_3)\\ \ddot{\vec{x}_2} &= -\frac{Gm_1}{\left(x_2 - x_1\right)^3} (\vec{x}_2 - \vec{x}_1) - \frac{Gm_3}{\left(x_2 - x_3\right)^3} (\vec{x}_2 - \vec{x}_3)\\ \ddot{\vec{x}_3} &= -\frac{Gm_1}{\left(x_3 - x_1\right)^3} (\vec{x}_3 - \vec{x}_1) - \frac{Gm_2}{\left(x_3 - x_2\right)^3} (\vec{x}_3 - \vec{x}_2)\\ \end{align*}

Da man das 3-Körperproblem trivial auf ein \(N\)-Körperproblem erweitern kann, habe ich hier ein “Sonnensystem” bzw. Bohrsches “Atom”-modell simuliert.

Sonnensystem

Um die obigen (bewegten) Bilder zu erzeugen und um ein bewegtes Doppelpendel für meinen Schreibtisch zu haben, — wennauch nur auf einem Bildschirm — habe ich in C++ einen adaptiven Runge-Kutta-4 Löser geschrieben, der mit den Qt Zeichenprimitiven animiert wird.

Auch wenn der Code nicht sehr aufgeräumt ist und Startwerte im Quellcode angepasst werden müssen, sind die Quellen auf GitHub: github.com/surt91/DGLshow.