Noch mehr Fraktale

Seit meinem ersten Eintrag über meinen Fraktal-tweetenden Bot @AFractalADay, habe ich selbigen noch um ein paar Fraktale erweitert, die ich hier kurz festhalten möchte. Der ganze Code ist auf Github.

Chaotic Maps

Eine Quadratic Map ist eine Rekursionsgleichung mit einem quadratischen Term, also beispielsweise

$$x_{i+1} = a_0 x^2 + a_1 x + a_2.$$

Das berühmteste Mitglied dieser Familie ist die Logistic-Map mit \(a_0=1, a_1=r, a_2=0\), die chaotisches Verhalten für \(3.56995 < r < 4\) zeigt. Aber leider ist sie nur eindimensional und ihr Attraktor deshalb nicht besonders hübsch.

Um visuell ansprechende Fraktale daraus zu erzeugen, brauchen wir also ein System aus zwei Rekursionsgleichungen, die wir als \(x\)- und \(y\)-Koordinaten betrachten können:

\begin{align*} x_{i+1} &= a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^2 + a_{3} x y + a_{4} y + a_{5} y^2\\ y_{i+1} &= a_{6} + a_{7} x + a_{8} x^2 + a_{9} x y + a_{10} y + a_{11} y^2. \end{align*}

Jetzt haben wir 12 freie Parameter, die einen riesigen Parameterraum aufspannen, in dem etwa 1.6% aller Möglichkeiten chaotisches Verhalten mit einem seltsamen Attraktor zeigen.

Quadratic Map

Chaotische Differentialgleichungssysteme

Ein echter Klassiker ist das Differentialgleichungssystem, das die Chaostheorie begründet hat und nach dem der Schmetterlingseffekt benannt ist [1, 2]. Für bestimmte Paramtersätze verlaufen die Bahnkurven entlang eines seltsamen Attraktors, dessen fraktale Dimension \(\approx 2.06\) ist. Da der vollständige Attraktor somit in einer zweidimensionalen Projektion etwas langweilig aussieht, habe ich hier nur eine Trajektorie über kurze Zeit dargestellt.

Lorenz-Attraktor

Und es gibt eine ganze Menge weitere Differntialgleichungssysteme (und chaotic maps), die chaotische Attraktoren aufweisen. Deshalb zeige ich hier noch einen Rössler-Attraktor, der eine vereinfachte Version des Lorenz-Systems ist:

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &= -(y+z)\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &= x + ay\\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} &= b + xz - cz \end{align*}

Und hier haben wir das Glück, dass auch seine Projektion sehr ansehnlich ist.

Rössler-Attraktor

Ich persönlich frage mich, nun wie der Attraktor für das Doppelpendel aussieht. Es ist anscheinend kein Fraktal, aber es sieht dennoch ganz interessant aus:

Doppelpendel

Ising model

Das Ising Modell für Ferromagnetismus wird auch als Drosophila der statistischen Physik bezeichnet: Es ist ein einfaches Modell, dass einen Phasenübergang aufweist — Eisen verliert seine magnetischen Eigenschaften oberhalb der Curie-Temperatur.

Es besteht aus magnetischen Momenten, Spins, die gerne in die gleiche Richtung zeigen wie ihre Nachbarn, aber durch hohe Temperatur gestört werden. Oder etwas formaler: Die innere Energie \(U\) wird durch den Hamiltonian \(\mathcal{H} = - \sum_{<ij>} s_i s_j\) bestimmt, wobei \(s_i = \pm 1\), je nachdem ob der Spin up oder down ist und die Summe über benachbarte Spins läuft. Das System wird immer einen Zustand anstreben, der die freie Energie \(F=U-TS\) minimiert. Das kann entweder passieren, indem \(U\) möglichst klein ist oder die Entropie \(S\) möglichst hoch. Bei großen Werten der Temperatur \(T\) bekommt der Entropie-Term ein höheres Gewicht, sodass Zustände mit hoher Entropie, also zufälligen Spinausrichtungen, bevorzugt sind, bei niedrigen Temperaturen werden Konfigurationen mit niedriger innerer Energie bevorzugt, also solche in denen alle Spins in die selbe Richtung zeigen. Die Temperatur, bei der sich beide Terme die Waage halten, nennt man kritische Temperatur. Hier bilden sich Regionen von Spins, die in die gleiche Richtung zeigen, auf allen Größenskalen. Die fraktale Dimension dieser Regionen ist 187/96, was solche kritische Konfigurationen interessant anzusehen macht. Ich empfehle auf das folgende Bild zu klicken und etwas hineinzuzoomen.

Kritisches Ising System

inline-python

Für jeden Zweck das passende Werkzeug: In meinem Alltag bedeutet das, dass ich Simulationen in Rust schreibe und in Python visualisiere. Dank inline-python geht das sogar sehr reibungslos.

use inline_python::python;

fn main() {
    let x: Vec<f32> = (0..628).map(|i| i as f32 / 100.).collect();
    let y: Vec<f32> = x.iter().map(|x| x.sin()).collect();

    python! {
        import numpy as np
        from matplotlib import pyplot as plt

        plt.plot('x, 'y)
        plt.show()
    }
}

Dieses Minimalbeispiel ist natürlich nicht nützlich, aber ich habe es bereits produktiv genutzt, um Dynamik auf petgraph Graphen zu simulieren und ihren Zustand per graph-tool zu visualisieren.

Graph state visualized with graph-tool

A Fractal A Day

Vor einiger Zeit habe ich ein Programm geschrieben, das verschiedene Typen von Fraktalen generiert. Da viele Methoden Fraktale zu generieren relativ einfach zu parallelisieren sind und großen Bedarf an Rechenkraft haben, habe ich mich entschieden es in Rust zu implementieren. Bei Interesse kann das Programm von Github bezogen werden.

Da Fraktale nett anzuschauen sind, ist dieser Beitrag voller hochaufgelöster Bilder. Damit diese Seite dennoch flüssig geladen wird — auch bei langsamen Verbindungen, habe ich extra für diesen Eintrag in die Technik dieses Blogs eingegriffen. Außerdem gibt es @AFractalADay auf Twitter, der täglich ein zufälliges Fraktal tweetet.

Escape Time

Die erste Klasse von Fraktalen, die ich hier zeigen möchte, wird definiert durch das Konvergenzverhalten des wiederholten Anwendens einer Funktion. Was genau dieser Satz bedeutet, lässt sich am besten an einem Beispiel erklären.

Mandelbrot-Menge

Das vermutlich bekannteste Fraktal ist das Apfelmännchen, das die Mandelbrotmenge visualisiert. Das ist die Menge der komplexen Zahlen \(c = x + iy,\) die nicht konvergieren, wenn die Funktion \(f_c(z) = z^2 + c\) wiederholt angewendet wird. Also wenn die Folge

$$f_c(0), f_c(f_c(0)), f_c(f_c(f_c(0))), ...$$

gegen einen endlichen Wert strebt.

Wenn man jeden Punkt \(c\) auf der komplexen Ebene entsprechend des Konvergenzverhaltens bezüglich dieser Folge einfärbt — schwarz wenn es konvergiert, blau für langsame Divergenz, rot für schnelle Divergenz — erhält man ein solches Bild:

Zoom auf das Apfelmännchen

Dies ist ein Zoom auf den Rand des Apfelmännchens. Tatsächlich ist die Mandelbrotmenge kein Fraktal im eigentlichen Sinne, da seine fraktale Dimension 2 ist — der schwarze Bereich füllt eine Fläche.

Es einfach möglich dieses Fraktal zu rastern und dabei jeden Pixel parallel zu berechnen. Eine naive Implementierung könnte wie folgt aussehen.

// convenient iterators
#[macro_use] extern crate itertools;
use itertools::Itertools;

// parallelism
extern crate rayon;
use rayon::prelude::*;

// complex numbers
extern crate num;
use num::complex::Complex;

fn raster(resolution: (u32, u32)) -> Vec<u64> {
    let (x, y) = resolution;

    // generate the points, we want to raster
    let pixels: Vec<(u32, u32)> = iproduct!(0..y, 0..x).collect();

    // start a parallel iterator on the points ...
    pixels.par_iter()
          .map(|&(j, i)| {
              // ... mapping every point ...
              let z = map_to_cplx_plane(i, j);
              // ... to the number of iterations needed to diverge
              time_to_diverge(z)
          })
          .collect()
}

fn map_to_cplx_plane(x: u32, y u32) -> Complex<f64> {
    // TODO: here we need to get the offset and scale somehow
    let x = (x-x_offset) as f64 * x_scale;
    let y = (y-y_offset) as f64 * y_scale;
    Complex<f64> {re: x, im: y}
}

fn time_to_diverge(mut state: Complex<f64>) -> u64 {
    // threshold is 2^2, since we compare to the square of the norm
    // as soon as the norm is >= 2 it is sure to diverge
    let threshold = 4.;

    // abort after 1000 iterations
    let max_count = 1000;

    let c = state;

    let mut ctr = 0u64;
    while {
        state = state * state + c;
        ctr += 1;

        state.norm_sqr() < threshold && ctr < max_count
    } {}
    ctr
}

Julia-Mengen

Nahe verwandt sind die Julia-Mengen. Hier benutzt man die gleiche Funktion \(f_c\), allerdings färbt man jeden Punkt \(z\) entsprechend seines Konvergenzverhaltens bei einem festen Parameter \(c\).

Ein Julia-Fraktal

Tatsächlich ist jede beliebige Funktion \(f\) erlaubt und nicht nur die oben erwähnte quadratische. Mit unkonventioneller Zuordnung von Farben zu Divergenzzeiten ergibt sich mit \(f(z) = (-2.6-i) \cosh(z)\) dieses Bild:

Ein weiteres Julia-Fraktal

Newton-Fraktal

Das Newton-Verfahren zur Findung von Nullstellen startet an einem beliebigen Punkt auf einer Kurve, und berechnet die Nullstelle der Tangente an diesem Punkt. Mit der Tangente dieses Punktes wird genauso verfahren. Dabei sollten sich die so erhaltenen Punkte immer dichter einer Nullstelle nähern. Bei einer komplexen Funktion können wir dies für jeden Startpunkt iterieren. Jeder Punkt wird gegen eine Nullstelle konvergieren, der wir eine Farbe zuordnen und den Punkt mit dieser Farbe einfärben. Wenn wir die Sättigung davon abhängig machen, wie schnell die Konvergenz ist, sieht das Ergebnis für \(f(x) = z^4 + 5^{z+i} + 15\) so aus.

Newton Fraktal für f(x) = z^4 + 5^{z+i} + 15

Chaos Game

Eine große Klasse von Fraktalen lässt sich mit dem Chaos Game erzeugen. Man benutzt dazu mindestens zwei Abbildungen \(f_1(z)\) und \(f_2(z)\), die jeweils einen Punkt \(z\) auf einen anderen Punkt abbilden. Man wählt einen Punkt zum Starten, bildet ihn mit einer Zufälligen der beiden Abbildungen ab, zeichnet den resultierenden Punkt ein und wiederholt dies sehr oft.

Dieser Algorithmus ist inherent sequenziell, allerdings kann man parallel an vielen verschiedenen Punkten starten und die Ergebnisse dieser unabhängigen Markovketten in einem Bild zusammenführen.

In Rust könnte der entsprechende Codeschnipsel so aussehen:

extern crate num_cpus;
use std::thread;
use std::sync::mpsc::channel;

let cpus = num_cpus::get();

// create a transmitter, receiver pair
let (tx, rx) = channel();
for _ in 0..cpus {
    // clone a transmitter for each thread
    let tx = tx.clone();

    // generator yielding the points from the chaos game
    // using a random seed
    let sampler = get_sampler();

    // we need some histogram implementation
    let mut hist = Histogram::new();

    thread::spawn(move || {
        // feed the samples into the histogram
        hist.feed(sampler.take(iterations_per_task));
        // send the finished histogram to the receiver
        tx.send(hist).unwrap();
    });
}

// collect all parallel computed histograms into main_hist
let mut main_hist = Histogram::new();
for _ in 0..cpus {
    let h = rx.recv().unwrap();
    main_hist.merge(&h);
}

Sierpinski-Dreieck und Bernsley-Farn

Mit dieser Methode kann man alte Bekannte wie das Sierpinski-Dreieck erzeugen.

Sierpinski-Dreieck

Dazu benötigt man die drei affinen Transformationen, die man alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auswählt:

$$\begin{align} f_1(\vec z) &=\begin{pmatrix} -1/4 & \sqrt 3 / 4 \\ -\sqrt 3 / 4 & -1/4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_x \\ z_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1/4\\ \sqrt 3 / 4 \end{pmatrix}\\ f_2(\vec z) &=\begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_x \\ z_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1/4\\ \sqrt 3 / 4 \end{pmatrix}\\ f_3(\vec z) &=\begin{pmatrix} -1/4 & -\sqrt 3 / 4 \\ \sqrt 3 / 4 & 1/4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_x \\ z_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$$

Ein anderes berühmtes Beispiel ist der Bernsley-Farn. Um ihn zu erzeugen, benutzt man die folgenden vier affinen Abbildungen, die man mit den Wahrscheinlichkeiten

$$p_1 = 0.01, p_2 = 0.85, p_3 = 0.07, p_4 = 0.07$$

verwendet:

$$\begin{align} f_1(z) &=\begin{pmatrix} 0.16\\ 0 \end{pmatrix}\\ f_2(z) &=\begin{pmatrix} 0.85 & 0.04 \\ 0 & -0.04 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_x \\ z_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0.85\\ 1.6 \end{pmatrix}\\ f_3(z) &=\begin{pmatrix} 0.2 & -0.26 \\ 0 & 0.23 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_x \\ z_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0.22\\ 1.6 \end{pmatrix}\\ f_4(z) &=\begin{pmatrix} -0.15 & 0.28 \\ 0 & 0.26 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_x \\ z_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0.24\\ 0.44 \end{pmatrix}\\ \end{align}$$

Als Ergebnis erhält man diesen Farn.

Bernsley-Farn

Fractal Flame

Fractal Flame ist der Name einer Klasse von Zufallsfraktalen, die nach dem gleichen Muster wie oben aus einer Reihe affiner Transformationen \(A_i\) bestehen. Zusätzlich können die affinen Transformationen mit einer nichtlinearen Variation \(V_j\) erweitert werden, sodass \(f_i(\vec z) = V_j(A_i(\vec z))\) (oder Linearkombinationen dieser Variationen). Zur Visualisierung werden die Punkte nicht direkt gezeichnet, sondern in ein Histogramm eingetragen, aus dem die Farbintensitäten typischerweise logarithmisch berechnet werden.

Fractal Flame, 'Horseshoe' Variation

Hier wird jedem \(f_i\) ein Farbton zugeordnet. Die Farbe eines Punktes ist eine Mischung dieser Farben, die widerspiegelt, wie oft eine Abbildung genutzt wurde, um an diesen Punkt zu gelangen.

Interessanterweise sind diese Systeme anscheinend sehr anfällig für schlechte Zufallszahlen, was sich in “Löchern” in den ansonsten glatten Flächen bemerkbar macht.

Möbius Flame

Diese Fraktale sind nahezu identisch zu den Fractal Flames, nur dass anstatt von affinen Transformationen Möbius Transformationen auf der komplexen Ebene genutzt werden.

$$f_i(z) = \frac{a_i z + b_i}{c_i z + d_i}$$

Möbius Flame

Wie findet man “gute” Parameter?

Offenbar hat dieser Typ von Fraktal sehr viele freie Parameter. Um hübsche Resultate zu generieren, müssen sie angepasst werden. Tatsächlich gibt es mit electric sheep (ich hoffe stark, dass es eine Blade Runner Referenz ist) ein Crowdsourcing-Projekt, das mithilfe von evolutionären Algorithmen und dem Feedback von Menschen besonders ansehnliche Fraktale erzeugt.

Für mein Programm habe ich eine simplere Methode genutzt. Damit man ein Fraktal gut sehen kann, sollte seine fraktale Dimension größer als 1 sein. Abschätzbar ist es relativ einfach über die Korrelations-Dimension. Dazu misst man die paarweisen Abstände von Punkten und misst den Exponenten ihrer kumulativen Verteilungsfunktion.

Kombiniert mit einigen Heuristiken, die zu langgestreckte Fraktale verhindert, sind die Ergebnisse meist ansprechend

Weitere Fraktale

Es gibt natürlich viel mehr Typen von Fraktalen. Auch wenn @AFractalADay sie bisher nicht zeichnen kann, habe ich einige Bilder angefertigt, die ich hier auch gerne zeigen möchte.

Diffusionsbegrenztes Wachstum

Diffusionsbegrenztes Wachstum bildet das Wachstum von Kristallen in stark verdünnten Lösungen ab. Man startet mit einem Seed und lässt dann einzelne Teilchen diffundieren, bis sie auf dem Nachbarfeld eines Seeds landen, wo sie dann bleiben und Teil des Seeds werden. Dieser Prozess bildet verästelte Strukturen aus.

Diffusionsbegrenztes Wachstum

Random Walks

Einige Arten von Random Walks haben eine fraktale Dimension zwischen 1 und 2, was sie zu ansehnlichen Fraktalen machen sollte. Der Smart Kinetic Self Avoiding Walk, der in meinem rsnake die Strategie des Autopiloten ist, hat eine fraktale Dimension von \(\frac{7}{4}\). 100000 Schritte sehen so aus:

Smart Kinetic Self Avoiding Walk, 100000 Schritte