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Doppelpendel

Code Bild Chaos Formel Physik Video

Das ist ein Doppelpendel. Ein Doppelpendel ist neben dem Dreikörperproblem und dem Lorenz-Attraktor [1, 2] das Paradebeispiel für analytisch unlösbare Bewegungsgleichungen und chaotisches Verhalten. Aus diesem Grund sollte ein Doppelpendel auf keinem Schreibtisch fehlen und bietet sich als grandiose Geschenkidee für Physiker an.

Dass es analytisch unlösbar ist, lässt sich mit einem nicht rigorosen Argument anschaulich machen: Ein Blick auf die Bewegungsgleichungen:

\begin{align*} (m_1 + m_2) l_1 \ddot\vartheta_1 + m_2 l_2 \ddot\vartheta_2 \cos(\vartheta_1 - \vartheta_2) + m_2 l_2 \dot\vartheta_2^2 \sin(\vartheta_1 - \vartheta_2) + g(m_1 + m_2) \sin(\vartheta_1) &= 0\\ m_2 l_2 \ddot\vartheta_2 + m_2 l_1 \ddot\vartheta_1 \cos(\vartheta_1 - \vartheta_2) - m_2 l_1 \dot\vartheta_1^2 \sin(\vartheta_1 - \vartheta_2) + m_2 g \sin(\vartheta_2) &= 0 \end{align*}

Das sind die Differentialgleichungen für die beiden Winkel \(\vartheta_1\) und \(\vartheta_2\) des Doppelpendels. \(m_i\) sind die beiden Massen und \(l_i\) die Fadenlängen.

Unser Ziel ist es das obige Video zu erstellen, dazu müssen wir die Bahnkurve, also \(\vartheta_1(t)\) und \(\vartheta_2(t)\) bestimmen. Dazu müssen wir die obigen Gleichungen, die sich relativ simpel, wenn auch mühsam, per Lagrange-Formalismus herleiten lassen, zunächst nach den Winkelbeschleunigungen aufgelösen.

\begin{align*} \ddot\vartheta_1 &= \frac{m_2 \cos(\vartheta_1 - \vartheta_2) (l_1 \sin(\vartheta_1 - \vartheta_2) \dot\vartheta_1^2 - g \sin(\vartheta_2)) + m_2 l_2 \sin(\vartheta_1 - \vartheta_2) \dot\vartheta_2^2 + (m_1 + m_2) g \sin(\vartheta_1)}{m_2 l_1 \cos^2(\vartheta_1 - \vartheta_2) - (m_1+m_2) l_1} \\ \ddot\vartheta_2 &= \frac{m_2 l_2 \cos(\vartheta_1 - \vartheta_2) \sin(\vartheta_1 - \vartheta_2) \dot\vartheta_2^2 + (m_1+m_2) l_1 \sin(\vartheta_1 - \vartheta_2) \dot\vartheta_1^2 + (m_1+m_2) g \cos(\vartheta_1 - \vartheta_2) \sin(\vartheta_1) - (m_1+m_2) g \sin(\vartheta_2)}{(m_1+m_2) l_2 - m_2 l_2 \cos^2(\vartheta_1 - \vartheta_2)} \end{align*}

Diese Gleichungen sind durchaus sehr unhandlich und können nicht analytisch, gelöst werden — aber numerisch ist es kein Problem.

Seltsamer Attraktor

Code C Chaos Physik Video

Zuvor habe ich bereits den Schmetterlingseffekt erwähnt. Um den Zusammenhang mit Chaos zu zeigen, betrachten wir folgendes Video von der Projektion in die y-z-Ebene von 13 Teilchen, die den Attraktor durchlaufen.

Alle Teilchen starten auf fast dem selben Punkt, aber nehmen sehr verschiedene Wege. Nach kurzer Zeit kann man den einzelnen Teilchen nicht mehr ansehen, dass sie fast die gleichen Anfangsbedingungen hatten.

Lorenz war Meteorologe und sein Differentialgleichungssystem

\begin{align} \dot{X} &= a(Y - X) \\ \dot{Y} &= X(b - Z) - Y \\ \dot{Z} &= XY - cZ, \\ \end{align}

das dieses chaotische Verhalten zeigt, sollte die Atmosphäre modellieren.

Jetzt kann man verstehen, was es mit dem Schmetterling aus Jurassic Park auf sich hat.

Er bewegt in Peking die Flügel, und im Central Park gibt’s Regen statt Sonne.

— Dr. Ian Malcolm (1993)

Sein Flügelschlag ändert den Zustand eines chaotischen Systems, dem Wetter, ein wenig und nach einiger Zeit hat das System einen grundlegend anderen Weg eingeschlagen, als ohne diesen Flügelschlag.

Dennoch sieht das Video irgendwie geordnet aus. Fast schon vorhersagbar. Seltsam.

Dreikörperproblem

Code Chaos Physik Video

Nein, ich habe keine analytische Lösung dafür gefunden. (Soweit ich mich erinnere, hat Poincaré bewiesen, dass es nicht lösbar ist.) Aber ich habe eine numerische Lösung mit dem vorher vorgestellten Runge-Kutta Löser erstellt. Und ich habe einen hübschen Film daraus gemacht.

Als Standbild ist es nicht ganz so ästhetisch, wie der Lorenz-Attraktor, aber animiert ist es — meiner Meinung nach — wunderbar anzusehen.

Und hier die Startwerte: (bei einer Gravitationskonstanten von 1) Blau: \(M=5, x_0=0, y_0=0, v_x0=0, v_y0=0\) Rot : \(M=1, x_0=1, y_0=0, v_x0=0, v_y0=1\) Grün: \(M=1, x_0=1, y_0=1, v_x0=1, v_y0=0\)