möchte­gern­geek

Da nicht jeder das nötige Kleingeld für ein Oszilloskop und Funktionsgenerator hat, aber jeder gerne eine Lissajous-Figur laufen haben möchte, liefere ich hier den entsprechenden Gnuplot Code.

reset
set term gif animate optimize
set output "lissajous.gif"
n=6250

set xr [-1:1]
set yr [-1:1]

set parametric
unset border
unset xtics
unset ytics

fx(t) = sin(t)
fy(t) = sin(2.999*t)

i=0
load "animateLissajou.gp"
set output

Die Datei „animateLissajou.gp“ sieht dann so aus:

set trange [i:i+2*pi]
plot fx(t),fy(t) lc rgb 'black' notitle

i=i+2*pi*10
if (i < n) reread

Stark angelehnt an diesen Blogeintrag. Das Ergenis sieht dann so aus.

Zuvor habe ich bereits den Schmetterlingseffekt erwähnt. Um den Zusammenhang mit Chaos zu zeigen, betrachten wir folgendes Video von der Projektion in die y-z-Ebene von 13 Teilchen, die den Attraktor durchlaufen.

Alle Teilchen starten auf fast dem selben Punkt, aber nehmen sehr verschiedene Wege. Nach kurzer Zeit kann man den einzelnen Teilchen nicht mehr ansehen, dass sie fast die gleichen Anfangsbedingungen hatten.

Lorenz war Meteorologe und sein Differentialgleichungssystem

das dieses chaotische Verhalten zeigt, sollte die Atmosphäre modellieren.

Jetzt kann man verstehen, was es mit dem Schmetterling aus Jurassic Park auf sich hat.

Er bewegt in Peking die Flügel, und im Central Park gibt’s Regen statt Sonne.

— Dr. Ian Malcolm (1993)

Sein Flügelschlag ändert den Zustand eines chaotischen Systems, dem Wetter, ein wenig und nach einiger Zeit hat das System einen grundlegend anderen Weg eingeschlagen, als ohne diesen Flügelschlag.

Dennoch sieht das Video irgendwie geordnet aus. Fast schon vorhersagbar. Seltsam.

Nein, ich habe keine analytische Lösung dafür gefunden. (Soweit ich mich erinnere, hat Poincaré bewiesen, dass es nicht lösbar ist.) Aber ich habe eine numerische Lösung mit dem vorher vorgestellten Runge-Kutta Löser erstellt. Und ich habe einen hübschen Film daraus gemacht.

Als Standbild ist es nicht ganz so ästhetisch, wie der Lorenz-Attraktor, aber animiert ist es — meiner Meinung nach — wunderbar anzusehen.

Und hier die Startwerte: (bei einer Gravitationskonstanten von 1) Blau: \(M=5, x_0=0, y_0=0, v_x0=0, v_y0=0\) Rot : \(M=1, x_0=1, y_0=0, v_x0=0, v_y0=1\) Grün: \(M=1, x_0=1, y_0=1, v_x0=1, v_y0=0\)