Number of longest increasing subsequences
Meine liebsten Probleme sind solche, die einfach scheinen aber sehr tief sind. Natürlich gehört
das Problem des Handlungsreisenden dazu: Es ist einfach zu verstehen,
dass der Müllmann bei jeder Mülltonne vorbei muss und dabei möglichst wenig Strecke fahren will.
Gerade deshalb ist es das Paradebeispiel für NP-schwere Probleme (technisch gesehen ist nur seine
Entscheidungs-Version „Gibt es eine Tour, die kürzer ist als
Aber fast noch besser gefällt mir das Problem der längsten aufsteigenden Teilfolge, oder auf englisch,
longest increasing subsequence (LIS): Gegeben eine
Folge von Zahlen
Dieses Problem ist so einfach, dass es erstmals von Stanisław Ulam als Fingerübung beschrieben wurde und nach meinem Eindruck heutzutage als Übung für dynamische Programmierung in Universitäten verwendet wird. Wer weiß wie viele Bewerber vor einem Whiteboard ins Schwitzen geraten sind bei dem Versuch es aus dem Stegreif zu lösen.
Auf der anderen Seite ist es aber offenbar tief genug, dass man ganze Bücher darüber schreiben kann.
Es zeigen sich überraschende Querverbindungen zu scheinbar unabhängigen Problemen.
Denn die Länge
Nun ist die Lösung dieses Problems nicht eindeutig: Es kann viele längste aufsteigende Teilfolgen geben. Tatsächlich wächst die Anzahl sogar exponentiell mit der Länge der ursprünglichen Sequenz.
Allerdings wurde bisher nie untersucht wie viele genau. Oftmals hört man, es sei nicht praktikabel
alle durchzuzählen, da es exponentiell viele seien. Und wenn es darum ginge alle zu enumerieren,
würde das stimmen. Aber wir wollen an dieser Stelle nur die Anzahl wissen, die wir mittels
dynamischer Programmierung effizient bestimmen können. Die Idee ist, dass wir für jedes Element,
das an Position
Besonders einfach geht das, wenn wir zuerst eine Datenstruktur aufbauen, die kodiert welche Elemente in einer LIS aufeinander folgen können. Dazu erweitern wir Patience Sort, und da dieser Algorithmus nach einem Kartenspiel benannt ist, werden wir es auch mit Karten visualisieren: Wir schreiben jedes Element unserer Sequenz auf eine Karte und legen die Karten auf einen Stapel, sodass das erste Element der Sequenz oben liegt. Dann nehmen wir Karten von oben ab und legen sie auf verschiedene Stapel. Die erste Karte legen wir auf den ersten, noch leeren Stapel. Die folgenden Karten legen wir auf den ersten Stapel, dessen oberstes Element größer ist als die aktuelle Karte und ansonsten machen wir einen neuen Stapel rechts davon auf. Jedes mal wenn wir eine Karte ablegen, lassen wir sie auf alle Karten, die aktuell auf dem Vorgängerstapel liegen und kleiner sind, zeigen — dies sind die Karten die in einer aufsteigenden längsten Teilfolge direkt vor ihr auftauchen können.
Am Ende haben wir
fn lis_len<T: Ord>(seq: &[T]) -> usize {
let mut stacks = Vec::new();
for i in seq {
let pos = stacks.binary_search(&i)
.err()
.expect("Encountered non-unique element in sequence!");
if pos == stacks.len() {
stacks.push(i);
} else {
stacks[pos] = i;
}
}
stacks.len()
}
Aber wir wollen mehr, deshalb notieren wir uns im nächsten Schritt bei allen Karten des
rechtesten Stapels wie viele aufsteigende Teilfolgen
der Länge
Wie sich das ganze für längere Sequenzen aus unterschiedlichen Zufallsensembles im Detail verhält haben wir in einem Artikel veröffentlicht.