möchte­gern­geek

Wer kennt das nicht: Man hat sich ein Python Skript geschrieben, um seine Daten per Bootstrap Resampling auszuwerten und stellt fest, dass das Konstrukt zur Bildung des „Samples mit Ersetzungen“

    import random
    x = [1,2,3]

    bootstrapSample = [random.choice(x) for _ in x]

einfach nicht schnell genug ist.
Aber glücklicherweise gibt es numpy!

    import numpy
    x = [1,2,3]

    bootstrapSample = list(numpy.random.choice(x, len(x)))

Das ist — zumindest in meinem Anwendungsfall — spürbar schneller. Ich werde in Zukunft also immer optimale Fehlerbalken erzeugen.

Zuvor habe ich bereits den Schmetterlingseffekt erwähnt. Um den Zusammenhang mit Chaos zu zeigen, betrachten wir folgendes Video von der Projektion in die y-z-Ebene von 13 Teilchen, die den Attraktor durchlaufen.

Alle Teilchen starten auf fast dem selben Punkt, aber nehmen sehr verschiedene Wege. Nach kurzer Zeit kann man den einzelnen Teilchen nicht mehr ansehen, dass sie fast die gleichen Anfangsbedingungen hatten.

Lorenz war Meteorologe und sein Differentialgleichungssystem \begin{align} \dot{X} &= a(Y - X) \ \dot{Y} &= X(b - Z) - Y \ \dot{Z} &= XY - cZ, \ \end{align} das dieses chaotische Verhalten zeigt, sollte die Atmosphäre modellieren.

Jetzt kann man verstehen, was es mit dem Schmetterling aus Jurassic Park auf sich hat.

Er bewegt in Peking die Flügel, und im Central Park gibt’s Regen statt Sonne.

— Dr. Ian Malcolm (1993)

Sein Flügelschlag ändert den Zustand eines chaotischen Systems, dem Wetter, ein wenig und nach einiger Zeit hat das System einen grundlegend anderen Weg eingeschlagen, als ohne diesen Flügelschlag.

Dennoch sieht das Video irgendwie geordnet aus. Fast schon vorhersagbar. Seltsam.

Nein, ich habe keine analytische Lösung dafür gefunden. (Soweit ich mich erinnere, hat Poincaré bewiesen, dass es nicht lösbar ist.) Aber ich habe eine numerische Lösung mit dem vorher vorgestellten Runge-Kutta Löser erstellt. Und ich habe einen hübschen Film daraus gemacht.

Als Standbild ist es nicht ganz so ästhetisch, wie der Lorenz-Attraktor, aber animiert ist es — meiner Meinung nach — wunderbar anzusehen.

Und hier die Startwerte: (bei einer Gravitationskonstanten von 1) Blau: $M=5, x_0=0, y_0=0, v_x0=0, v_y0=0$ Rot : $M=1, x_0=1, y_0=0, v_x0=0, v_y0=1$ Grün: $M=1, x_0=1, y_0=1, v_x0=1, v_y0=0$