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Eines der bekanntesten Modelle der statistischen Physik ist das Ising-Modell. Es besteht aus (klassischen) Spins auf einem Gitter im Wärmebad und soll magnetische Eigenschaften von Festkörpern modellieren. Es zeigt nämlich in 2D und 3D (und 4D … ) einen Phasenübergang zweiter Ordnung von „magnetisch“ zu „nicht magnetisch“, so wie ferromagnetische Materialien, die oberhalb der Curie Temperatur nicht mehr ferromagnetisch sind.

In einfachen Worten: Die Spins des Ising-Modells richten sich so aus wie ihre Nachbarn und die Temperatur bringt sie wieder durcheinander.

Aber es wäre natürlich langweilig das Modell so zu benutzen, wie alle anderen auch. Deshalb stelle ich hier eine Anwendung aus Pattern Recgonition and Machine Learning vor, die nichts mehr mit Magneten zu tun hat: Rauschunterdrückung in Bildern.

Andererseits bin ich Physiker und darf deshalb nichts machen, was direkt nützlich wäre, also beschränke ich mich auf schwarz-weiße Bilder, die man direkt auf das „spin up“-„spin down“ des Ising-Modells abbilden kann.

Die Idee ist, das jeder Spin einem Pixel \(x_i\) entspricht. Dann koppelt man die Spins des Ising-Modells \(x_i\) an die Pixel \(y_i\) des verrauschten Bildes über einen zusätzlichen Energie-Term

Dabei bedeutet \(\left< i,j \right>\), dass man über alle Nachbarn von \(i\) summiert.

Von diesem Modell kann man dann per Simulated Annealing den Grundzustand suchen oder man macht es sich einfach equilibriert bei \(T=0\).

Das Schema dazu wurde bereits in diesem Post gezeigt. Graue Knoten entsprechen den Pixeln des verrauschten Bilds \(y_i\) und weiße Knoten den Ising-Spins \(x_i\), die am Ende als Pixel des entrauschten Bilds interpretiert werden.

Genug der Theorie. Es wird Zeit für pixelige Bilder. Leider hatte ich kein verrauschtes Bild, also habe ich ein beliebiges Bild gemalt und 10% aller Pixel invertiert.

Links das verrauschte Bild und rechts das entrauschte. Ja, nicht perfekt. Und in dem zitierten Buch wird auf der gleichen Seite noch eine sehr viel bessere Methode angesprochen. Aber die hatte nichts mit dem Ising-Modell zu tun. Und man sieht ja auch eine Verbesserung. Oder?

Nebenbei bemerkt, kann man das Ising-Modell auch als zellulären Automaten mit zufälligem Element betrachten, denn jeder Spin ist eine Zelle, die nur lokal von seinen Nachbarn und zufällig durch die Temperatur beeinflusst wird.

Der Code ist als Gist auf Github.

Ein Algorithmus, von dem jeder schoneinmal gehört haben sollte, ist die Tiefensuche (Depth First Search). Wenn man Zusammenhangskomponenten in einem Graphen finden will oder nach einem bestimmten Knoten in einem Graphen sucht, ist die Tiefensuche meist der einfachste und oft ein geeigneter Algorithmus mit einer Zeitkomplexität \(\mathcal{O}(N+M)\), die linear in der Anzahl der Knoten und der Kanten ist. Da man gefühlt alle Graphalgorithmen am besten rekursiv beschreiben kann, folgt hier eine (nichtrigorose) Beschreibung.

1. Man startet die Tiefensuche an einem beliebigen Knoten.
2. Bei jedem noch nicht besuchten Nachbarn startet man wieder eine Tiefensuche.

Aber was macht man im Alltag mit einer Tiefensuche? Meine Antwort darauf ist: Labyrinthe bauen.

Bei dieser Gelegenheit muss NetworkX erwähnt werden. Ein Python Modul, das sehr schöne Klassen für Graphen bereitstellt und perfekt geeignet ist, um schnell Prototypen von Graphalgorithmen zu testen.

Der Code ist als Gist auf GitHub verfügbar.

Man arbeitet an einem Seminarvortrag und will ein Modell auf einem periodischen Gitter erklären. Natürlich kann man sich nicht entscheiden, wie viele Elementarzellen man darstellen möchte. Außerdem ist es einem zuwider mehrere Elementarzellen per Hand zu schreiben.

Wer kennt das nicht?

Glücklicherweise gibt es eine Lösung. Weil man alle seine Aufzeichnungen sowieso in LaTeX setzt, benutzt man TikZ, bastelt eine Elementarzelle und kachelt sie über die Ebene, bis man das Gefühl hat, dass es genau passend für die Präsentation ist. Als Bonus kann man noch mit den Parametern spielen, um einen möglichst überzeugenden pseudo 3D-Effekt zu erzielen.

\documentclass{standalone}

\usepackage{tikz}

\begin{document}
    \begin{tikzpicture}
        \newcommand*{\shear}{0.2}
        \newcommand*{\height}{1.0}
        \newcommand*{\radius}{0.1}
        \newcommand*{\xspacing}{1}
        \newcommand*{\yspacing}{0.5}

        % two-dimensional lattice, with three dimensional basis
        % decreasing counter, otherwise there will be lines through the circles
        \foreach \x in {4,...,0}{
            \foreach \y/\dx in {3,...,0}{
                % primitive vectors
                \draw (\x+\y*\shear-\xspacing/2 , \y*\yspacing            )
                    -- (\x+\y*\shear+\xspacing/2, \y*\yspacing            );
                \draw (\x+\y*\shear-\shear/2    , \y*\yspacing-\yspacing/2)
                    -- (\x+\y*\shear+\shear/2   , \y*\yspacing+\yspacing/2);
                \draw (\x+\y*\shear             , \y*\yspacing            )
                    -- (\x+\y*\shear            , \y*\yspacing+\height    );

                % base
                \fill[white] (\x+\y*\shear, \y*\yspacing        ) circle(\radius);
                \draw        (\x+\y*\shear, \y*\yspacing        ) circle(\radius);

                \fill[gray]  (\x+\y*\shear, \y*\yspacing+\height) circle(\radius);
                \draw        (\x+\y*\shear, \y*\yspacing+\height) circle(\radius);
            }
        }
    \end{tikzpicture}
\end{document}

Und damit wäre wiedereinmal die Vorliebe dieses Blogs für schwarz-weiße Bilder, die entweder Linien und Kreise oder zu große Pixel enthalten, bestätigt.