möchte­gern­geek

surt91 hat mich eingeladen, hier einen Gastbeitrag zu schreiben, und mir das Thema freigestellt. Ich habe mich für eine kleine geometrische Spielerei entschieden, die aus einer einzigen Regel erstaunlich hübsche Muster macht: Truchet-Kacheln.

Es gibt nämlich nur eine einzige Kachel. Sie ist quadratisch und trägt zwei Viertelkreise, die je zwei benachbarte Seitenmitten verbinden — mehr nicht. Für ihre Lage auf dem Gitter gibt es genau zwei Möglichkeiten:

Man legt viele Kopien auf ein Gitter und würfelt für jede aus, welche der beiden sie einnimmt. Aus dieser fast schon albern simplen Vorschrift fällt das hier heraus:

Mich fasziniert das jedes Mal aufs Neue. Nichts an der Regel weiß irgendetwas von Schlaufen, Symmetrie oder geschlossenen Kurven, und trotzdem finden die Viertelkreise über die Kachelgrenzen hinweg zueinander und verweben sich zu einem sauberen Geflecht. Die Idee ist alt: Der Dominikanerpater Sébastien Truchet hat schon 1704 systematisch durchgespielt, welche Muster entstehen, wenn man ein einzelnes Quadrat in allen seinen Drehungen kombiniert. Seine Originalkachel war allerdings noch ein schlicht diagonal in Schwarz und Weiß geteiltes Quadrat; die geschwungene Variante mit den Viertelkreisen, die zu diesen fließenden Linien führt, geht auf Cyril Stanley Smith zurück, der die Truchet-Kacheln 1987 wieder ausgegraben hat.

Der ganze Zauber passt in eine Handvoll Zeilen Python, die direkt ein SVG ausspucken — kein numpy, kein Plot-Framework, nur etwas Geometrie und random:

import random

def truchet(filename, n=16, s=40, seed=42, stroke_ratio=0.18):
    random.seed(seed)
    w = h = n * s
    r, sw = s / 2, s * stroke_ratio
    paths = []
    for j in range(n):
        for i in range(n):
            x, y = i * s, j * s
            tm = (x + r, y)      # top middle
            rm = (x + s, y + r)  # right middle
            bm = (x + r, y + s)  # bottom middle
            lm = (x, y + r)      # left middle
            if random.random() < 0.5:
                # Bögen umarmen die obere linke und untere rechte Ecke
                arcs = [(tm, lm, 1), (bm, rm, 1)]
            else:
                # ... oder die obere rechte und untere linke
                arcs = [(tm, rm, 0), (lm, bm, 1)]
            for (ax, ay), (bx, by), sweep in arcs:
                paths.append(f'M{ax:.1f} {ay:.1f} '
                             f'A{r:.1f} {r:.1f} 0 0 {sweep} {bx:.1f} {by:.1f}')
    body = '\n'.join(f'  <path d="{d}"/>' for d in paths)
    svg = (f'<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 {w} {h}" '
           f'width="{w}" height="{h}">\n'
           f'<g fill="none" stroke="#000" stroke-width="{sw:.1f}" '
           f'stroke-linecap="round">\n{body}\n</g>\n</svg>\n')
    with open(filename, 'w') as f:
        f.write(svg)

truchet('truchet.svg')

Pro Kachel werden zwei Viertelkreis-Bögen als SVG-path gezeichnet, und die einzige Entscheidung ist der Münzwurf, welches Eckenpaar sie umarmen. Die 1 beziehungsweise 0 ist das sweep-flag des Bogens und sorgt nur dafür, dass er sich nach innen wölbt statt nach außen. Das war der gesamte Algorithmus.

Wenn man genau hinschaut, sind die wirren Schnörkel in Wahrheit überhaupt nicht wirr: An jeder Seitenmitte des Gitters stoßen immer genau zwei Bögen aufeinander — einer aus jeder der beiden angrenzenden Kacheln. Jeder Strich hat also exakt zwei Nachbarn, und damit zerfällt das ganze Gewimmel sauber in eine Handvoll geschlossener Schlaufen. Gibt man jeder ihre eigene Farbe — ein kurzer Union-Find über die Kanten genügt —, sieht man, wie unterschiedlich lang sie ausfallen:

Manche Loops mäandern einmal quer über das ganze Bild, andere sind zu einem einzelnen kleinen Kreis zusammengeschnurrt. Welche von beidem — das entscheidet allein der Zufall im seed.

Als ich surt91 die fertige Kachelung gezeigt habe, war seine erste Reaktion: das erinnert an Perkolation. Er hat recht — die zufällige Bogen-Kachelung ist sogar eine der klassischen Arten, kritische Perkolation überhaupt zu zeichnen. Weil jede Kachel immer genau zwei Bögen trägt, sind die bunten Schlaufen von eben nichts anderes als die Umrisse — die hulls — von Perkolations-Clustern. Und der faire Münzwurf mit Wahrscheinlichkeit $1/2$ landet wegen Selbstdualität punktgenau auf dem kritischen Punkt $p_c = 1/2$ des Quadratgitters. Genau deshalb sieht man Loops auf allen Größen — am Phasenübergang ist das System skaleninvariant.

Damit erbt die Größenverteilung der Schlaufen alles, was man über kritische Perkolation weiß. Die Loops sind Fraktale der Dimension $7/4$ — das Perkolations-Gegenstück zu der $187/96$, die hier schon beim Ising-Modell auftauchte. Die Zahl der Schlaufen, die eine Fläche größer als $A$ umschließen, ist sogar exakt und universell bekannt, nämlich $\frac{1}{8\pi\sqrt{3}}\,\frac{1}{A}$ — ein hübsches Resultat von Cardy und Ziff. Und das Schönste, weil es surt91s Bauchgefühl unmittelbar bestätigt: Verzieht man die Münze, sodass eine Orientierung häufiger fällt, verlässt man den kritischen Punkt. Die großen, quer durchs Bild mäandernden Loops verschwinden dann zugunsten einer charakteristischen Maximalgröße — nur bei exakt $1/2$ reicht das Spektrum bis zur Bildkante. Im Generator ist das ein Einzeiler: random.random() < p statt < 0.5.

Für ein eigenes GitHub-Repo ist das alles entschieden zu kurz; der vollständige Code steht ja schon oben im Beitrag. Eine andere Zahl im seed, und man hat sein nächstes Hintergrundbild. Und damit reiht sich auch dieser Gastbeitrag brav in die altbekannte Vorliebe dieses Blogs für schwarz-weiße Bilder aus Linien und Kreisen ein.

Besonders in diesem Jahr, aber zumindest in meinem Garten jedes Jahr, sind Schnecken ein großes Problem für Hobbygärtner. Man setzt die liebevoll vorgezogenen Pflanzen von der Fenterbank in das Beet, nur um am nächsten Tag zu sehen, dass außer Schleimspuren nichts geblieben ist. Es gibt eine Reihe Hausmittel, die helfen sollen. Praktischerweise im Wikipedia-Artikel zur Schneckenbekämpfung zusammengefasst:

• Bannkreise aus Eierschalen oder Kaffeepulver
• Bierfallen, die alle Schnecken aus der Nachbarschaft einladen
• Kupfer, das nicht nur für Schnecken giftig ist
• Laufenten — immerhin werden die Pflanzen dann nicht mehr von Schnecken gefressen

Drei dieser vier Strategien haben außerdem den Nachteil, dass sie nicht nur die Wegschnecken bekämpfen, die für die meisten Fraßschäden verantwortlich sind, sondern alle Schnecken. Tatsächlich sind Schnecken mit Gehäuse keine Gefahr für die Nutzpflanzen — im Gegenteil: laut des Wikipedia-Artikels gibt es anscheindend eher den Zusammenhang, dass eine große Weinbergschneckenpopulation mit eher kleinen Populationen der schädlichen Wegschnecke korreliert ist. Und auch nicht alle Nacktschnecken sind schädlich! Meine Lieblingsnacktschnecke, der Tigerschnegel, frisst nicht nur Schneckeneier, sondern sogar ausgewachsene Exemplare.

Der Schneckenkragen

In meinem Garten hat sich der Schneckenkragen bewährt. Das ist ein hohler Zylinder mit Widerhaken nach außen. Einfacher an einem Bild zu zeigen als zu beschreiben.

Dort, wo die 3D-gedruckte Schnecke abgebildet ist, sollte keine Schnecke mehr hingelangen können.

Man steckt ihn einfach mit einer leicht drehenden Bewegung etwa 2 cm tief in den Boden.

Dabei ist unbedingt zu beachten, dass andere Pflanzen nicht zu dicht am Kragen stehen dürfen, da die Schnecken sie ansonsten als Brücken nutzen können.

Und natürlich sollte man sicherstellen, dass sich keine Schnecke im Inneren des Schneckenkragens befindet. Sie verstecken sich gerne unter Steinchen oder Ästen. Am besten lockert man den Boden innerhalb des Scheckenkragens daher einmal auf und befördert dabei zutage tretende Schnecken heraus.

Auch wenn man alles beachtet, kann es sein, dass in der Erde noch Schneckeneier sind, die innerhalb des Kragens schlüpfen.

Man muss also dennoch regelmäßig nachschauen. Aber zumindest in meinem Garten, ist der Unterschied zwischen geschützten und ungeschützten Pflanzen gewaltig.

Die Funktionsweise ist anscheinend nicht ganz klar. Erklärungsansätze, die ich finden konnte, sind, dass der Wechsel von „senkrecht nach oben“ zu „45° nach unten“ nicht im Verhaltensrepertoire von Schnecken enthalten ist. Und dass der Kragen dazu führt, dass die Schnecken auf dem Weg nach oben den Geruch der Pflanzen verlieren und dann verwirrt wieder nach unten kriechen.

Upgrade

Nach meinen (leidvollen) Erfahrungen finden in besonders schneckenreichen Beeten bei feuchtem Wetter einige Schnecken dennoch in den Kragen. Das scheint daran zu liegen, dass sich Schnecken in den Knick verkriechen. Von da aus kriechen sie dann später in eine zufällige Richtung — entweder in den Kragen hinein oder wieder herunter. Zumindest vermute ich, dass dies der Mechanismus ist.

Wenn die Annahme richtig ist, müssen wir also nur verhindern, dass die Schnecken es sich in dem Knick gemütlich machen. In der Einleitung hatte ich kurz erwähnt, dass Schnecken Kupfer vermeiden, denn Kupfer ist giftig für Weichtiere (sowie Einzeller und viele Wassertiere). Der Mechanismus ist anscheinend, dass Schneckenschleim leicht sauer ist und bei Kontakt leicht Kupferionen löst, die für die Schnecke giftig und unangenehm sind. Dafür muss die Schnecke allerdings ausreichend lange Kontakt mit dem Kupfer haben, sodass ein Kupferdraht, der um das Beet liegt, keine Schnecken abschreckt.

Wir können aber das Kupfer nutzen, um die Schnecken davon abzuhalten, sich in dem Knick aufzuhalten, indem wir einen Streifen Kupferfolie möglichst weit oben um den Kragen kleben. Gleichzeitig ist das Kupfer dort unter dem „Dach“ vor Regen geschützt, sodass die Exposition der Umgebung minimiert wird.

Upgrade 2 — Electric Boogaloo

Wenn dies immer noch nicht ausreicht, um die Pflanzen hinreichend zu schützen, gibt es noch die Möglichkeit den Kragen zu einem Elektrozaun zu modifizieren. Dazu klebt man zwei Streifen Kupferband um den Kragen, sodass sie sich nicht berühren und schließt sie an eine 9 V Batterie an. Um die 9 V Batterie zu halten, habe ich eine Variante des Kragens mit einer Halterung und einer Öffnung für die Kabel erstellt. Damit die Batterie nicht nass wird, sollte man die Oberseite der Öffnung mit Silikonkleber abdichten.

Wenn Schnecken nun hochkriechen, schließen sie den Stromkreis und bekommen einen Stromschlag. In der Regel sollten sie sich zurückziehen oder betäubt werden und herunterfallen. Falls diese Methode zu lethal für die Schnecken ist, kann noch ein Widerstand in Reihe an einen der Pole gelötet werden.

Fertigung

Die Fertigung gelingt mit einem 3D-Drucker. Ich habe hierfür ein einfaches Modell designt. Leider benötigt ein hinreichend großer Schneckenkragen, der stabil genug ist, um ihn in den Boden drücken zu können, relativ viel Filament. Bei dem Filament sollte man darauf achten, dass es UV-beständig ist, wie PETG oder ASA. Das sorgt dafür, dass er in der Sonne nicht spröde wird und man ihn viele Jahre nutzen kann.

Ostern ist ein Feiertag, dessen Zeitpunkt mit einer Regel festgelegt wird, die unnötig kompliziert scheint. Der erste Sonntag nach dem ersten Vollmond im Frühling. Den meisten bleibt da als Lösung nicht viel mehr übrig als in einem Kalender nachzusehen welches Datum es denn wohl ist und sich auf den Kalenderhersteller zu verlassen. Aber nicht mit mir! Ich werde es Big-Calendar zeigen und hier die geheime Formel veröffentlichen, mit der man das Osterdatum berechnet!

from datetime import date

def easter(year: int) -> date:
    y = year
    g = y % 19 + 1                    # golden number
    c = y // 100 + 1                  # century
    x = (3 * c) // 4 - 12             # correction: dropped leap years
    z = (8 * c + 5) // 25 - 5         # correction: synchronize with moon's orbit
    d = (5 * y) // 4 - x - 10         # find sunday
    e = (11 * g + 20 + z - x) % 30    # epact
    if e == 25 and g > 11 or e == 24:
        e += 1
    n = 44 - e                        # full moon in march
    if n < 21:
        n += 30
    n = n + 7 - (d + n) % 7           # advance to next sunday
    month, day = (4, n - 31) if n > 31 else (3, n)

    return date(year, month, day)

Mir persönlich gefällt besonders gut, dass jede Zeile schlimmer ist als die vorherige.

Dieser Algorithmus ist übrigens von Lilius und Clavius Ende des 16. Jahrunderts entwickelt worden. Ich bin durch eine Erwähnung in einer Übungsaufgabe in Donald Knuths The Art of Computer Programming 1 (Third edition, S. 159f) darauf gestoßen.