Labyrinthartiger Zellulärer Automat

Der wohl berühmteste zelluläre Automat ist vermutlich Conway’s Game of Life. Er und nahe Verwandte sind geradezu lächerlich gut untersucht. Das LifeWiki gibt einen ganz guten Überblick. Die Regeln sind einfach: Jede Zelle hat 8 Nachbarn, wenn genau 3 Nachbarn leben, erwacht sie auch zum Leben, bei weniger als 2 oder mehr als 3 stirbt sie (23/3). Wenn man die Regeln des Automaten ändert, kann man mit 12345/3 labyrinthartige Strukturen erzeugen.

Der Code ist als Gist auf GitHub verfügbar.

Relative Neighborhood Graph

Zu jedem Zeitpunkt ist im obigen Video ein Relative Neighborhood Graph (RNG) zu sehen. Der RNG verbindet Knoten miteinander, die nahe beieinander sind. Für die Knotenmenge \(V\) muss also eine Metrik definiert sein, sodass eine Distanz \(d_{ij}\) zwischen zwei Knoten definiert ist. Dann verbindet der RNG alle Knoten, die die Bedingung

$$ d_{ij} \le \max(d_{ik}, d_{kj}) \quad \forall k \in V\setminus\{i, j\} $$

erfüllen.

Dementsprechend simpel kann man einen RNG erzeugen.

import random

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt


def dist(n1, n2):
    """Euclidean distance"""
    return ((n1[0] - n2[0])**2 + (n1[1] - n2[1])**2)**0.5


def rng(G):
    """Insert edges according to the RNG rules into the graph G"""
    for c1 in G.nodes():
        for c2 in G.nodes():
            d = dist(c1, c2)
            for possible_blocker in G.nodes():
                distToC1 = dist(possible_blocker, c1)
                distToC2 = dist(possible_blocker, c2)
                if distToC1 < d and distToC2 < d:
                    # this node is in the lune and blocks
                    break
            else:
                G.add_edge(c1, c2)


if __name__ == "__main__":
    # generate some random coordinates
    coordinates = [(random.random(),random.random()) for _ in range(100)]

    G = nx.Graph()
    for x, y in coordinates:
        G.add_node((x, y), x=x, y=y)

    rng(G)

    # draw the graph G
    pos = {n: (n[0], n[1]) for n in G.nodes()}
    nx.draw_networkx_nodes(G, pos=pos, node_shape="o")
    nx.draw_networkx_edges(G, pos=pos)

    plt.show()

Interessanterweise tauchen alle Kanten des RNG auch in der Delaunay Triangulation der gleichen Knotenmenge auf. Dies kann man nutzen, um RNGs in \(\mathcal{O}(N \log N)\) zu konstruieren.

Meiner persönlichen Meinung nach, bildet der RNG mit dem Verhältnis von Knoten zu Kanten ein ästhetisches Optimum.

TSPview

Das Problem des Handlungsreisenden ist es, die kürzeste Rundtour zu planen, sodass man alle Städte besucht. Es ist eines der berühmtesten Optimierungsprobleme und gehört zur Klasse NP-hard.

Es gibt also (bis jetzt) keine effiziente Möglichkeit zur Lösung. Allerdings gibt es Näherungen, untere Schranken und unzählige Heuristiken.

Die einfachsten dieser Heuristiken habe ich in einem kleinen Programm TSPview implementiert, mitsamt Visualisierung. Der Quellcode ist auf GitHub zu finden.

Algorithmen

Hier folgt eine kurze Beschreibung der verwendeten Algorithmen und jeweils ein Bild, welche Lösung die Methode auf einer berühmten Instanz des TSP findet.

42 Hauptstädte in Amerika Das sind 42 Hauptstädte der Vereinigten Staaten von Amerika und Washington, DC (Hawaii und Alaska, sowie einige Staaten an der Ostküste, die das Problem nicht schwieriger machen, fehlen). Dieses Problem war das erste größere, das 1956 beweisbar optimal gelöst wurde.

Nearest Neighbor

Nearest Neighbor Die Nearest Neighbor Heuristik (\(\mathcal{O}(N^2)\)) startet bei einer zufälligen Stadt und wählt als nächste Stadt immer die Stadt, die am nächsten an der aktuellen Stadt ist und noch nicht besucht wurde.

Greedy

Greedy Diese Heuristik (\(\mathcal{O}(N^2 \log N)\)) ist ähnlich zu Kruskals Algorithmus für minimal spannende Bäume. Sie nimmt die kürzeste Verbindung zwischen zwei Städten und fügt sie der Tour hinzu, wenn sie in der Tour noch erlaubt ist.

Farthest Insertion

Farthest Insertion Farthest Insertion (\(\mathcal{O}(N^3)\)) startet bei einer zufälligen Stadt und fügt dann die Stadt, die am weitesten von der aktuellen Tour entfernt ist an der Stelle in die Tour, die dafür sorgt, dass die Tour möglichst kurz bleibt.

Two-Opt

Two-Opt Two-Opt beginnt mit einer beliebigen Tour, die bspw. durch eine der obigen Heuristken erstellt wurde und verbessert sie, indem sie zwei Verbindungen nimmt und die Endpunkte über Kreuz austauscht, wenn die Tour dadurch verbunden bleibt und kürzer wird.

Lineare Programmierung mit “Subtour Elimination Cuts”

Linear Programming Lineare Programmierung (LP) zu erklären, würde diesen Artikel sprengen. Aber diese Methode liefert untere Schranken für die Tourlänge und kann somit benutzt werden, um die Qualität einer heuristischen Lösung abzuschätzen. Falls man die optimale Lösung durch lineare Programmierung findet, erkennt man sie auch sofort als optimal.

Für weitere Details, kann ich auf einen arXiv Artikel von mir verweisen.

Concorde

Optimale Tour Concorde ist der “State of the Art” Solver für das Problem des Handlungsreisenden und löst problemlos Instanzen mit mehr als 1000 Städten. Intern benutzt es zwar eine Menge Heuristiken, allerdings auch lineare Programmierung, um nachzuweisen, dass die gefundene Lösung optimal ist.

Technische Details

TSPview ist ein Python3 Programm, das zur Darstellung PyQt5 benutzt, das sich per pip3 install PyQt5 einfach installieren lässt.

Darüber hinaus enthält es eine optionale Abhängigkeit zu CPLEX, einem kommerziellen LP solver.

boost::python

Da das Hauptprogramm in Python geschrieben ist, aber der LP-Teil in C++, braucht man eine Möglichkeit der Kommunikation. Glücklicherweise gibt es mit boost::python eine Möglichkeit C++ Klassen in Python als Python-Klassen zu benutzen.

Um beispielsweise die C++ Klasse MyClass, deren Konstruktor einen Integer und eine Python-Liste entgegen nehmen soll, in Python benutzen und myMethod aufrufen zu können, reicht folgender Code:

#include <boost/python.hpp>
namespace py = boost::python;

// implement MyClass

BOOST_PYTHON_MODULE(MyClass)
{
    py::class_<MyClass>("MyClass", py::init<int, py::list>())
        .def("myMethod", &MyClass::myMethod)
    ;
}