möchte­gern­geek

surt91 hat mich eingeladen, hier einen Gastbeitrag zu schreiben, und mir das Thema freigestellt. Ich habe mich für eine kleine geometrische Spielerei entschieden, die aus einer einzigen Regel erstaunlich hübsche Muster macht: Truchet-Kacheln.

Es gibt nämlich nur eine einzige Kachel. Sie ist quadratisch und trägt zwei Viertelkreise, die je zwei benachbarte Seitenmitten verbinden — mehr nicht. Für ihre Lage auf dem Gitter gibt es genau zwei Möglichkeiten:

Man legt viele Kopien auf ein Gitter und würfelt für jede aus, welche der beiden sie einnimmt. Aus dieser fast schon albern simplen Vorschrift fällt das hier heraus:

Mich fasziniert das jedes Mal aufs Neue. Nichts an der Regel weiß irgendetwas von Schlaufen, Symmetrie oder geschlossenen Kurven, und trotzdem finden die Viertelkreise über die Kachelgrenzen hinweg zueinander und verweben sich zu einem sauberen Geflecht. Die Idee ist alt: Der Dominikanerpater Sébastien Truchet hat schon 1704 systematisch durchgespielt, welche Muster entstehen, wenn man ein einzelnes Quadrat in allen seinen Drehungen kombiniert. Seine Originalkachel war allerdings noch ein schlicht diagonal in Schwarz und Weiß geteiltes Quadrat; die geschwungene Variante mit den Viertelkreisen, die zu diesen fließenden Linien führt, geht auf Cyril Stanley Smith zurück, der die Truchet-Kacheln 1987 wieder ausgegraben hat.

Der ganze Zauber passt in eine Handvoll Zeilen Python, die direkt ein SVG ausspucken — kein numpy, kein Plot-Framework, nur etwas Geometrie und random:

import random

def truchet(filename, n=16, s=40, seed=42, stroke_ratio=0.18):
    random.seed(seed)
    w = h = n * s
    r, sw = s / 2, s * stroke_ratio
    paths = []
    for j in range(n):
        for i in range(n):
            x, y = i * s, j * s
            tm = (x + r, y)      # top middle
            rm = (x + s, y + r)  # right middle
            bm = (x + r, y + s)  # bottom middle
            lm = (x, y + r)      # left middle
            if random.random() < 0.5:
                # Bögen umarmen die obere linke und untere rechte Ecke
                arcs = [(tm, lm, 1), (bm, rm, 1)]
            else:
                # ... oder die obere rechte und untere linke
                arcs = [(tm, rm, 0), (lm, bm, 1)]
            for (ax, ay), (bx, by), sweep in arcs:
                paths.append(f'M{ax:.1f} {ay:.1f} '
                             f'A{r:.1f} {r:.1f} 0 0 {sweep} {bx:.1f} {by:.1f}')
    body = '\n'.join(f'  <path d="{d}"/>' for d in paths)
    svg = (f'<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 {w} {h}" '
           f'width="{w}" height="{h}">\n'
           f'<g fill="none" stroke="#000" stroke-width="{sw:.1f}" '
           f'stroke-linecap="round">\n{body}\n</g>\n</svg>\n')
    with open(filename, 'w') as f:
        f.write(svg)

truchet('truchet.svg')

Pro Kachel werden zwei Viertelkreis-Bögen als SVG-path gezeichnet, und die einzige Entscheidung ist der Münzwurf, welches Eckenpaar sie umarmen. Die 1 beziehungsweise 0 ist das sweep-flag des Bogens und sorgt nur dafür, dass er sich nach innen wölbt statt nach außen. Das war der gesamte Algorithmus.

Wenn man genau hinschaut, sind die wirren Schnörkel in Wahrheit überhaupt nicht wirr: An jeder Seitenmitte des Gitters stoßen immer genau zwei Bögen aufeinander — einer aus jeder der beiden angrenzenden Kacheln. Jeder Strich hat also exakt zwei Nachbarn, und damit zerfällt das ganze Gewimmel sauber in eine Handvoll geschlossener Schlaufen. Gibt man jeder ihre eigene Farbe — ein kurzer Union-Find über die Kanten genügt —, sieht man, wie unterschiedlich lang sie ausfallen:

Manche Loops mäandern einmal quer über das ganze Bild, andere sind zu einem einzelnen kleinen Kreis zusammengeschnurrt. Welche von beidem — das entscheidet allein der Zufall im seed.

Als ich surt91 die fertige Kachelung gezeigt habe, war seine erste Reaktion: das erinnert an Perkolation. Er hat recht — die zufällige Bogen-Kachelung ist sogar eine der klassischen Arten, kritische Perkolation überhaupt zu zeichnen. Weil jede Kachel immer genau zwei Bögen trägt, sind die bunten Schlaufen von eben nichts anderes als die Umrisse — die hulls — von Perkolations-Clustern. Und der faire Münzwurf mit Wahrscheinlichkeit $1/2$ landet wegen Selbstdualität punktgenau auf dem kritischen Punkt $p_c = 1/2$ des Quadratgitters. Genau deshalb sieht man Loops auf allen Größen — am Phasenübergang ist das System skaleninvariant.

Damit erbt die Größenverteilung der Schlaufen alles, was man über kritische Perkolation weiß. Die Loops sind Fraktale der Dimension $7/4$ — das Perkolations-Gegenstück zu der $187/96$, die hier schon beim Ising-Modell auftauchte. Die Zahl der Schlaufen, die eine Fläche größer als $A$ umschließen, ist sogar exakt und universell bekannt, nämlich $\frac{1}{8\pi\sqrt{3}}\,\frac{1}{A}$ — ein hübsches Resultat von Cardy und Ziff. Und das Schönste, weil es surt91s Bauchgefühl unmittelbar bestätigt: Verzieht man die Münze, sodass eine Orientierung häufiger fällt, verlässt man den kritischen Punkt. Die großen, quer durchs Bild mäandernden Loops verschwinden dann zugunsten einer charakteristischen Maximalgröße — nur bei exakt $1/2$ reicht das Spektrum bis zur Bildkante. Im Generator ist das ein Einzeiler: random.random() < p statt < 0.5.

Für ein eigenes GitHub-Repo ist das alles entschieden zu kurz; der vollständige Code steht ja schon oben im Beitrag. Eine andere Zahl im seed, und man hat sein nächstes Hintergrundbild. Und damit reiht sich auch dieser Gastbeitrag brav in die altbekannte Vorliebe dieses Blogs für schwarz-weiße Bilder aus Linien und Kreisen ein.