Convex hulls of random walks in higher dimensions: A large deviation study

Die Frage wie groß das Revier eines Tieres ist, ist in konkreten Fällen für Biologen interessant und dank GPS-Sendern kann man es heutzutage sogar empirisch untersuchen. Aus der Punktwolke der besuchten Orte kann man eine Fläche abschätzen — im einfachsten Fall indem man die konvexe Hülle um alle besuchten Orte zeichnet.

Als Physiker sind mir echte Tiere zu kompliziert, sodass ich stattdessen annehme, dass sie punktförmig sind und ihre Bewegung ein Random Walk in einer isotropen Umgebung ist. Also springen meine idealisierten Tiere unabhängig von ihren bisherigen Handlungen zu ihrem nächsten Aufenthaltsort — der Abstand vom aktuellen Punkt ist dabei in jeder Dimension unabhängig und normalverteilt.

In jeder Dimension? Ja, genau! Wir wollen schließlich auch das Revierverhalten von vierdimensionalen Space Whales untersuchen.

Möbius Dick, Futurama Möbius Dick, Futurama (2011)

Spaß beiseite, in dieser Veröffentlichung geht es natürlich eher um fundamentale Eigenschaften von Random Walks — einer der einfachsten und deshalb am besten untersuchten Markow-Prozesse. Und zwar im Hinblick auf Large Deviations, die extrem unwahrscheinlichen Ereignisse, die weit jenseits der Möglichkeiten von konventionellen Sampling-Methoden liegen. Details hierzu sind am besten direkt im Artikel oder mit einer Menge Hintergrundinformationen und ausführlicher als für ein Blog angemessen in dem entsprechenden Kapitel und Anhang meiner Dissertation nachzulesen. Insbesondere ist dort auch beschrieben wie die geometrischen Unterprobleme effizient gelöst werden können, auf die wir im Verlauf dieses Blogposts stoßen werden.

Das Problem eine konvexe Hülle zu finden ist einerseits einfach zu begreifen, schön geometrisch und sehr gut untersucht. Dadurch sind überraschend viele Algorithmen bekannt, die unterschiedliche Vor- und Nachteile haben.

Im Folgenden möchte ich deshalb ein paar Methoden vorstellen, wie man effizient die konvexe Hülle einer Punktmenge bestimmen kann, und dies mit animierten gifs von Punkten und Strichen visualisieren. Der Code zur Erstellung der Visualisierungen ist übrigens in Rust geschrieben und auf GitHub zu finden.

Andrew’s Monotone Chain

In zwei Dimensionen kann man ausnutzen, dass die konvexe Hülle ein Polygon ist, das man durch die Reihenfolge der Eckpunkte definieren kann. Die grundlegende Idee ist also die Punkte im Uhrzeigersinn zu sortieren, in dieser Reihenfolge, mit dem Punkt ganz links startend, alle zu einem Polygon hinzuzufügen und dabei darauf zu achten, dass die drei neusten Punkte des Polygons ein negativ orientiertes Dreieck bilden, also dass sie im “Uhrzeigersinn drehen”. Wenn das nicht der Fall ist, wird der mittlere Punkt entfernt.

Sechs Schritte von Andrew's Monotone Chain -- oder Graham Scan

Dies ist übrigens die ursprüngliche Variante, der Graham Scan. Andrew verbesserte diesen Algorithmus dadurch, dass nicht im Uhrzeigersinn sortiert werden muss, sondern man lexikographisch nach horizontaler Koordinate (bei Gleichstand entscheidet die vertikale Koordinate) sortiert. Dann bildet dieser Algorithmus die obere Hälfte der Hülle und wenn man ihn rückwärts auf die sortierten Punkte anwendet, die untere Hälfte.

Andrew's Monotone Chain

Die Komplexität für \(n\) Punkte ist somit \(\mathcal{O}(n \ln n)\) limitiert durch das Sortieren.

Jarvis March: Gift Wrapping

Ein Geschenk einzupacken ist ein relativ intuitiver Prozess: Wir bewegen das Papier so lange herunter, bis wir auf einen Punkt des Geschenkes treffen, wo es hängen bleibt Dann wickeln wir weiter, bis wir auf den nächsten Punkt stoßen. Dabei streben wir an die konvexe Hülle zu finden, denn sie ist das Optimum möglichst wenig Papier zu verbrauchen während wir die Punktwolke einhüllen, die wir verschenken wollen. Und offenbar klappt das auch in drei Dimensionen!

In einem Computer ist es allerdings einfacher das Geschenkpapier von innen aus der Punktwolke heraus nach außen zu falten. Für jede Facette testen wir also jeden der \(n\) Punkte in der Punktwolke darauf, ob er links von unserem Stück Geschenkpapier liegt. Wenn ja, falten wir das Papier weiter. Sobald wir alle \(n\) Punkte ausprobiert haben, wissen wir, dass das Geschenkpapier an der richtigen Stelle liegt, sodass anfangen können die nächste Facette mit dem Geschenkpapier zu bilden indem wir von innen alle Punkte durchtesten.

Jarvis March: Gift Wrapping

Interessanterweise müssen wir also für jeden der \(h\) Punkte, die zur Hülle gehören \(\mathcal{O}(n)\) Punkte prüfen, sodass die Komplexität abhängig ist vom Ergebnis: \(\mathcal{O}(n h)\)

Chan’s Algorithm

Wir haben also einen \(\mathcal{O}(n \ln n)\) und einen \(\mathcal{O}(n h)\) Algorithmus kennen gelernt, aber können wir noch besser werden? Ja! \(\mathcal{O}(n \ln h)\) ist die theoretische untere Komplexitätsgrenze für 2D konvexe Hüllen. Beispielsweise Chans Algorithmus erreicht diese Komplexität mit einem trickreichen zweistufigen Prozess.

Zuerst teilt man die Punktwolke in zufällige Untermengen mit jeweils etwa \(m\) Punkten ein. Für jede berechnet man die konvexe Hülle, bspw. mit Andrews Algorithmus. Dann benutzt man Jarvis March, um die Hülle zu konstruieren, dabei muss man allerdings nicht mehr alle Punkte durchprobieren, sondern nur noch die Tangenten, die in der Animation mit grünen Strichen gekennzeichnet sind. Die Tangenten kann man für jede der \(k = \lceil \frac{n}{m} \rceil\) Sub-Hüllen effizient in \(\mathcal{O}(m)\) bestimmen. Dazu benutzt man einem Algorithmus, der an eine Binärsuche erinnert. Zusammen hat dies also eine Komplexität von \(\mathcal{O}((n+kh) \ln m)\).

Aber ich hatte \(\mathcal{O}(n \ln h)\) versprochen. Nun, um das zu erreichen, müssen wir einfach nur \(m \approx h\) wählen. Aber wie kommen wir an \(h\) bevor wir die Hülle berechnet haben? Der Trick ist, mit einem niedrigen \(m\) zu starten, dann nur \(m\) Schritte des Jarvis-Teils des Algorithmus durchzuführen und wenn die Hülle dann noch nicht fertig ist \(m\) zu erhöhen und es wieder von vorne zu beginnen. Damit dieser iterative Teil des Algorithmus nicht unsere Komplexität erhöht, muss \(m\) schnell genug wachsen, was in der Regel durch Quadrieren des alten Werten erreicht wird.

Chan's Algorithm

QuickHull

Zuletzt möchte ich hier noch QuickHull vorstellen, weil dieser Algorithmus meiner Meinung nach einen sehr hübschen rekursiven divide and conquer Ansatz verfolgt — ein bisschen wie QuickSort. In zwei Dimensionen starten wir mit dem Punkt ganz links \(A\) und ganz rechts \(B\). Dann finden wir den Punkt \(C\) der am weitesten entfernt ist von der Strecke \(\overline{AB}\) und links von der Strecke ist. Diesen Schritt wiederholen wir rekursiv auf den Strecken \(\overline{AC}\) und \(\overline{CB}\) (und \(\overline{BA}\) für die untere Hälfte.)

QuickHull

Mehr Dimensionen

Aber ich hatte Space Whales versprochen, also können wir uns nicht mit 2D zufrieden geben! Tatsächlich müssen wir schon beim Verallgemeinern auf 3D aufpassen. Schließlich konnten wir für 2D die konvexe Hülle als Sequenz von Punkten repräsentieren. Für höhere Dimensionen müssen wir sie allerdings als Menge von Facetten repräsentieren. Glücklicherweise tauchen für noch höhere Dimensionen dann keine weiteren Schwierigkeiten mehr auf — abgesehen von der Grundsätzlichen Schwierigkeit, dass höherdimensionale Gebilde deutlich größere Oberflächen haben und somit die konvexe Hülle aus deutlich mehr Facetten besteht, sodass die untere Schranke für die Komplexität für Dimension \(d\) durch \(\mathcal{O}(n^{\lfloor d / 2 \rfloor})\) gegeben ist.

Bevor ich hier QuickHull für \(d=3\) beschreibe, möchte ich darauf hinweisen, dass es die qhull Implementierung gibt, die sich bspw. auch um die subtilen numerischen Fehler kümmert, die sich bei sehr spitzen Winkeln einschleichen können.

Grundsätzlich bleibt das Vorgehen gleich: Wir starten mit einem \(d\)-dimensionalen Simplex, also für \(d=3\) mit einem Tetraeder, dessen Eckpunkte zur konvexen Hülle gehören. Dann führen wir für jede Facette den rekursiven Schritt durch: Finde den Punkt, der am weitesten vor der Facette (also außerhalb des Tetraeders) ist. Diesen Punkt nennt man Eye-Point. Denn es reicht jetzt im Gegensatz zum 2D Fall nicht mehr einfach neue Facetten aus den Rändern und dem neuen Punkt zu bilden. Stattdessen müssen wir alle Facetten, deren Vorderseite (also Außenseite) wir vom Eye-Point aus sehen können entfernen und neue Facetten mit dem Horizont und dem Eye-Point bilden. In der Animation unten sind der Eye-Point sowie die Facetten, die er sieht, rot dargestellt. Der Horizont ist mit schwarzen Strichen gekennzeichnet.

Wird dieser Schritt rekursiv auf alle neu hinzugefügten Facetten angewendet, resultiert die konvexe Hülle. Und genauso, wenn auch deutlich schwieriger darstellbar, funktioniert es auch für alle höheren Dimensionen.

QuickHull

Eine wichtige Anwendung für 3D konvexe Hüllen ist übrigens die Delaunay-Triangulation einer planaren Punktmenge. Die wiederum kann für eine effiziente Berechnung des Relative-Neighborhood-Graphs aus diesem Post genutzt werden.

Perfect Snake

Ich habe auf diesem Blog schon über eine Reihe von Snake Clonen [1, 2, 3, 4, 5] geschrieben, die zum Teil auch Autopilot-Strategien hatten [6, 7]. Die Autopiloten waren zwar meist interessant anzusehen — vor allem bei hohen Geschwindigkeiten — aber bei weitem nicht perfekt.

Auch wenn der Titel etwas zu viel verspricht, schafft es dieser Autopilot (zumindest manchmal) perfekte Spiele zu spielen.

Eine perfekte Partie Snake

Und falls dieses gif nicht überzeugt, kann man den Autopiloten online — dank TensorFlow.js — direkt im Browser ausprobieren auf snake.schawe.me.

Aber was steckt dahinter?

Neuronale Netze

Wenn man nicht clever genug ist, eine direkte Lösung für ein Problem zu finden, kann man versuchen ein neuronales Netz auf die Lösung des Problems zu trainieren. Vor einigen Jahren hat ein Artikel, in dem ein neuronales Netz trainiert wurde alte Atari-Spiele zu spielen, für mediale Aufmerksamkeit gesorgt. Und die gleiche Idee des Reinforcement Learning werde ich hier (nicht als erster [8, 9]) auf Snake anwenden.

Die grundlegende Idee von Reinforcement Learning ist relativ einsichtig: Wir belohnen das Modell für gute Entscheidungen, sodass es lernt mehr gute Entscheidungen zu treffen. In unserem Fall werden gute Entscheidungen dadurch definiert, dass sie zu einer hohen Punktzahl, also Länge der Schlange am Spielende, führen.

Glücklicherweise können wir auf die Literatur zurückgreifen, wie wir diese grundsätzliche Idee umsetzen können. Das Modell, für das ich mich entschieden habe, ist ein Actor-Critic Ansatz. Dabei nutze ich ein neuronales Netz, das als Input den aktuellen Zustand des Spielfeldes bekommt — wie genau dieser Zustand aussieht, diskutieren wir weiter unten. Dann geht es durch ein paar Schichten und endet in zwei “Köpfen”. Einer ist der Actor, mit drei Output-Neuronen, die für “nach links”, “nach rechts” und “geradeaus weiter” stehen. Der andere ist der Critic, der ein Output-Neuron hat, das abschätzt wie lang die Schlange, ausgehend von der aktuellen Situation, noch werden kann — also wie gut die aktuelle Situation ist.

Das Training läuft dann so ab, dass ein ganzes Spiel gespielt wird, folgend den Vorschlägen des Actors mit etwas rauschen, um neue Strategien zu erkunden. Sobald es beendet ist, weil die Schlange sich oder eine Wand gebissen hat, wird der Critic mit allen Zuständen des Spielverlaufs darauf trainiert, Schätzungen abzugeben, die möglichst gut zu der tatsächlich erreichten Länge am Spielende passen. Außerdem wird der Actor darauf trainiert gute Entscheidungen zu treffen, indem zu den Zuständen des Spielverlaufs andere Entscheidungen getroffen werden und die Bewertung des Critic der resultierenden Situationen als Qualität der Entscheidung genutzt wird. Actor und Critic helfen sich also gegenseitig besser zu werden. Der gemeinsame Teil des neuronalen Netzes sollte im Idealfall nach genügend gespielten Spielen dabei ein “Verständnis” für Snake entwickeln. Genial!

Technische Nebensächlichkeiten

Meine Implementierung benutzt die Python Bibliotheken Keras und Tensorflow zum Training und multiJSnake als Environment. Wir steuern also einen Java-Prozess, um unser neuronales Netz in Python zu trainieren. Diese Entscheidung ist etwas unorthodox, aber bot Potential für einen Blogpost auf dem Blog meines Arbeitgebers.

Wir können das Environment getrost als Black-Box betrachten, die dafür sorgt, dass die Regeln von Snake befolgt werden.

Lokale Informationen

Eine der wichtigsten Entscheidungen ist nun, wie der Input in das Modell aussieht. Die einfachste Variante, die sich auch gut zum Testen eignet, ist die lokale Information rund um den Kopf der Schlange: Drei Neuronen, die jeweils 1 oder 0 sind, wenn das Feld links, rechts und geradeaus vom Kopf belegt sind (und acht weitere für etwas mehr Weitsicht auf die Diagonalen und übernächste Felder vorne, rechts, links und diesmal auch zurück). Damit die Schlange auch das Futter finden kann, fügen wir noch 4 weitere Neuronen hinzu, die per 1 oder 0 anzeigen, ob das Futter in, rechts, links oder entgegengesetzt der Bewegungsrichtung der Schlange ist.

Mit diesem Input füttern wir eine einzelne vollvernetzte Schicht, hinter der wir direkt die Actor und Critic Köpfe anschließen.

Layout des neuronalen Netzes mit lokaler Information (Visualisierung: netron)

Das reicht aus, damit die Schlange nach ein paar tausend Trainingsspielen zielstrebig auf das Futter zusteuert und sich selbst ausweicht. Allerdings reicht es noch nicht, um zu verhindern, dass sie sich selbst in Schlaufen fängt. Da war der Autopilot von rsnake besser.

Ein paar Spiele mit lokaler Information

Globale Informationen

Um der Schlange eine Chance zu geben zu erkennen, dass sie sich gerade selbst fängt, sollte man ihr erlauben das ganze Spielfeld zu sehen — schließlich sehen menschliche Spieler auch das ganze Spielfeld. Bei einem \(10 \times 10\) Spielfeld haben wir also schon mindestens 100 Input-Neuronen, sodass vollvernetzte Schichten zu sehr großen Modellen führen würden. Stattdessen bietet es sich bei solchen zweidimensionalen Daten an convolutional neuronale Netze zu nutzen. Um es unserer Schlange etwas einfacher zu machen, werden wir unser Spielfeld in drei Kanäle aufteilen:

  1. der Kopf: nur an der Position des Kopfes ist eine 1, der Rest ist 0
  2. der Körper: die Positionen an denen sich der Körper befindet zeigen wie viele Zeitschritte der Körper noch an dieser Position sein wird
  3. das Futter: nur an der Position des Futters ist eine 1, der Rest ist 0

Was ein Mensch sieht und was wir unserem neuronalen Netz zeigen

Dies ist auch kein unfairer Vorteil, schließlich sehen menschliche Spieler das Bild auch mit drei Farbkanälen.

Und damit die Schlange nicht auch noch lernen muss was rechts und links bedeutet, geben wir dem Actor 4 Outputs, die für Norden, Osten, Süden und Westen stehen.

Layout des Convolutional-Neural-Networks (Visualisierung: netron)

Dieses Modell-Layout verdient es dann schon eher als Deep Learning bezeichnet zu werden. Weitere Modell-Parameter, können auf github.com/surt91/multiJSnake nachgeschlagen werden.

Nach einigen zehntausend Trainingsspielen funktioniert dieses Modell dann tatsächlich gut genug, um regelmäßig perfekte Spiele auf einem \(10 \times 10\) Spielfeld zu erreichen. Aber da ich es nur auf \(10 \times 10\) Feldern trainiert habe, versagt es leider auf jeder anderen Größe.

multiJSnake

Vor Kurzem habe ich ein Server-Client Snake in meine Liste von simplen Snake-Clonen [1, 2, 3, 4, 5, 6] eingereiht. Wie ich in meinem Artikel “RestfulSnake” bereits angedeutet hatte, habe ich es um eine Multiplayer Komponente erweitert.

multiJSnake

Das grundlegende Design ist, dass der Server in festen Intervallen den nächsten Zeitschritt berechnet, den Spielzustand an alle Spieler schickt und auf Steuerkommandos von den Spielern lauscht. Dass der Server die gesamte Spiellogik verwaltet ist einerseits möglich, weil Snake einen relativ kleinen Zustand hat und nicht extrem empfindlich auf Latenzen reagiert. Außerdem können Spieler nicht (so einfach) schummeln, wenn der Spiel-Zustand auf dem Server berechnet wird.

Hier sehen wir auch schon das erste Problem für die alte Kommunikation per http: Da der Server nicht von sich aus Nachrichten an die Clients schicken kann, müssten die Clients pollen, was zu einem ganzen Haufen an Problemen führen kann (Poll kurz vor dem Tick zum nächsten Zeitschritt, Last, uneinheitliche Antwortzeiten und Races bei schlechtem Netzwerk, …) Genau für diesen Zweck sind aber Websocket-Verbindungen wie geschaffen! Da SpringBoot vernünftige Mechanismen mitbringt, um Websockets zu handhaben, ist die Umstellung sogar vergleichsweise schmerzfrei.

Das größte Problem ist nun, dass die meisten Leute “Rest” als synonym für “json über http” verstehen. Also muss ein neuer Name her — leider war “multisnake” auf Heroku schon belegt, sodass ich mit “multiJSnake” subtil darauf hinweise, dass Java und JavaScript das fundament bilden.

Ausprobiert werden kann es auf multijsnake.herokuapp.com und weitere Spieler können durch einen Einladungslink in die eigene Session eingeladen werden. Die Quellen sind natürlich auf Github: github.com/surt91/multiJSnake.